Halaman
Barisan dan Deret79Bab 3Barisan dan DeretPeta KonsepMenggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalahqMenggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatumatriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lainqMenentukan determinan dan invers matriks 2 x 2qMenggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan lineardua variabelStandar KompetensiKompetensi DasarBarisan dan DeretAritmetikaBarisanAritmetikaDeretAritmetikaBarisan dan DeretBarisanGeometriDeretGeometriDeretGeometri TakHinggaSuku ke-nSuku TengahSisipan
80Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaSumber: balivetman.files.wordpress.comGambar 3.1Pak Danang merupakan seorang peternak ayam di Indonesia. Akibatserangan wabah penyakit flu burung, populasi ayam yang dimilikinyaberkurang sepersepuluh setiap 10 hari sekali. Pada hari ke–40, populasiayamnya tinggal 32.805 ekor. Dapatkah Anda menghitung berapa populasiayam peliharaan Pak Danang semula?Populasi ayam Pak Danang yang berkurang setiap kurun waktu tertentumembentuk suatu pola bilangan. Contoh lain dalam kehidupan sehari–hari,antara lain, jumlah tabungan di bank yang bertambah setiap hari, jumlahpenduduk yang bertambah setiap tahun, dan sebagainya. Pola–pola sepertiini membentuk suatu barisan bilangan.A. Barisan dan Deret Bilangan1. Barisan BilanganPernahkah Anda memperhatikanseorang anak kecil yang mulai belajarmenyebutkan bilangan 1 sampai dengan10? Bila Anda perhatikan, susunanbilangan tersebut membentuk suatubarisan yang memiliki pola atau aturantertentu, yaitu menambahkan bilangansebelumnya dengan bilangan satu. CobaAnda perhatikan susunan bilanganberikut:1) 1, 2, 3, 4, 5, ....merupakan barisan bilangan asli2) 1, 3, 5, 7, 9, ....merupakan barisan bilangan asliganjilInfo MatematikaLeonardo Fibonacci adalah putraseorang saudagar Italia. Dalamperjalanannya ke Eropa danAfrika Utara, ia mengembangkankegemarannya akan bilangan.Dalam karya terbesarnya, LinerAbaci, ia menjelaskan suatu teka-teki yang membawanya kepadaapa yang kita kenal sebagaibarisan bilangan Fibonacci ataudisebut juga The Golden Number ofHuman Life. Barisannya adalah 1,1, 2, 3, 4, 8, 13, 21, .... Setiap bilangandalam barisan ini merupakanjumlah dari 2 bilangan sebelumnya.Barisan bilangan Fibonacci dapatkita teliti dalam susunan daun padabunga atau segmen-segmen dalambuah nanas atau biji cemara.
Barisan dan Deret813) 2, 4, 6, 8, 10, ....merupakan barisan bilangan asli genap4) 1, 3, 6, 10, 15, ....merupakan barisan bilangan segitiga5) 1, 6, 4, 5, 7, ....bukan merupakan barisanJadi, barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki polaatau aturan tertentu.Secara umum suatu barisan yang terdiri dari n suku,dinyatakanU1 , U2 , U3 , ..., Undengan:U1= suku pertamaU2= suku keduaUn= suku ke–nContoh 3.1Tentukan 4 suku berikutnya pada barisan:1) 1, 3, 5, 7, ....2) 2, 3, 5, 8, ....Jawab:1) 1, 3, 5, 7, ....Dengan memperhatikan barisan tersebut, kita dapat mengetahuibahwa antarsuku mempunyai selisih 2. Jadi, barisan bilangantersebut adalah:1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.2) 2, 3, 5, 8, ....Selisih U1 dan U2 adalah 1.Selisih U2 dan U3 adalah 2.Selisih U3 dan U4 adalah 3.Kita dapat mengetahui bahwa selisih berikutnya adalah 4, 5, danseterusnya. Jadi, barisan bilangan tersebut adalah:2, 3, 5, 8, 12, 17, 23, 30.Contoh 3.2Suatu barisan bilangan mempunyai aturan Un = 3n + 7.1) Tentukan suku ke–4!2) Suku keberapakah yang nilainya 52?
82Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaJawab:a.U4= 3(4) + 7= 12 + 7= 19Jadi, suku keempatnya adalah 19.b. 5 2 = 3n + 73n= 45n= 453= 15Jadi, suku yang nilainya 52 adalah suku ke–15.Contoh 3.3Tentukan rumus suku ke–n dari barisan 4, 7, 10, 13, ....Jawab:n= 1oU1 = 4 = 3.1 + 1n= 2oU2 = 7 = 3.2 + 1n= 3oU2 = 10 = 3.3 + 1n= 4oU4 = 13 = 3.4 + 1Un= 3n + 1Jadi, rumus suku ke–n adalah Un = 3n + 1.2. Deret BilanganPerhatikan barisan yang terdiri dari 10 bilangan cacah genap berikut:0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18Jika suku–suku tersebut kita jumlahkan, maka akan diperoleh bentuksebagai berikut:0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18Penjumlahan suku–suku barisan tersebut dinamakan deret bilangan.Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku–suku suatubarisan. Penjumlahan suku–suku barisan tersebut dinamakanderet dan dituliskan: U1 + U2 + U3 + ... + Un.
Barisan dan Deret83Kerjakan di buku tugas Anda!1.Tentukan empat suku berikutnya dari barisan bilangan:a. –9, –7, –5, –3, ....b. 2, 5, 10, 17, ....c.1, 13, 15, 17, ....d. 9, 3, 1, 13, ....2.Tentukan rumus suku ke–n dari barisan–barisan berikut:a. 2, 4, 6, 8, ....b. 9, 3, 1, 13, ....c.8, 11, 14, 17, ....d. –7, –4, –1, 2, ....3.Tentukan empat suku pertama dari barisan yang mempunyaiaturan berikut:a.U n = 3n – 5b.Un = 12n2 + 3c.Un = 4n2d.Un = n(n2 + 1)4.Suatu barisan bilangan mempunyai rumus suku ke–n sebagaiberikut: Un = 3(2n2 + 5). Tentukan:a.U2 + U3;b. nilai n untuk Un = 165!5.Tulislah deret–deret berikut dan hitung jumlahnya!a. deret 10 bilangan asli yang pertama;b. deret 9 bilangan segitiga yang pertama;c.deret 10 bilangan persegi yang pertama;d. deret 9 bilangan Fibonacci yang pertama!Latihan 1
84Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaKerjakan dengan kelompok Anda!Ada beberapa tokoh ilmuwan yang berjasa besar dalam perkembangankonsep barisan dan deret, di antaranya, Fibonacci, Gauss, Pascal, deMorgan, dan masih banyak lagi. Tugas Anda adalah membuat makalahtentang salah seorang dari tokoh–tokoh tersebut. Anda dapat mencariinformasi di perpustakaan, internet, dan sebagainya. Presentasikanhasilnya di depan kelas.B. Barisan dan Deret Aritmetika1. Barisan AritmetikaPerhatikan barisan–barisan bilangan berikut ini.a. 1, 2, 3, 4, ....b. 2, 4, 6, 8, ....c.–9, –6, –3, 0, ....Ketiga barisan tersebut mempunyai karakteristik tertentu, yaitu selisihdua suku berurutan selalu bernilai tetap. Selisih tersebut dinamakan bedadan dinotasikan dengan huruf b.a. Untuk barisan 1, 2, 3, 4, ...; b = 4 – 3 = 3 – 2 = 2 – 1 = 1b. Untuk barisan 2, 4, 6, 8, ...; b = 8 – 6 = 6 – 4 = 4 – 2 = 2c.Untuk barisan –9, –6, –3, 0, ... ; b = 0 – (–3) = –3 – (–6) = –6 – (–9) = 3Ketiga barisan tersebut dinamakan barisan aritmetika.a. Suku ke–n Suatu Barisan AritmetikaMisalkan U1, U2 ..., Un adalah barisan aritmetika dengan selisih b dansuku pertama a, maka:U1= aU2= U1 + b = a + b = a + (2 – 1)bU3= U2 + b = a + b + b = a + 2b = a + (3 – 1)bUn= Un – 1 + b= [a + (n – 2)b] + b= a + (n – 1)bSehingga diperoleh:Bentuk umum barisan aritmetika:a, a + b, a + 2b, a + 3b, ..., a + (n – 1)bdengan: a = U1 (suku pertama) b = Un – Un – 1Tugas Kelompok Tugas Kelompok
Barisan dan Deret85Jadi, rumus umum suku ke–n barisan aritmetika adalah:Un = a + (n – 1)bContoh 3.4Diketahui suatu deret aritmetika 2, 4, 6, 8, .... Tentukan suku ke–10!Jawab:a= 2b= 4 – 2 = 2n= 10Un= a + (n – 1)bU15= 2 + (10 – 1)2= 2 + 9(2)= 2 + 18= 20Contoh 3.5Suatu barisan aritmetika mempunyai suku ke–2 = 14 dan suku ke–4 = 24.Tentukan:a . suku ke–n;b. suku ke–25!Jawab:a.U2= a + b= 14U4= a + 3b= 24–2b= –10b = 5a + b = 14a + 5 = 14a = 9Un= a + (n – 1)b= 9 + (n – 1)5= 9 + 5n – 5= 5n + 4b.Un= 5n + 4U25= 5(25) + 4= 125 + 4= 129Contoh 3.6Diketahui barisan aritmetika U2 + U4 = 40 dan U3 + U5 = 46.Tentukan:a. suku pertama dan bedanya;b.U2 + 12U3 + U6!
86Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaJawab:a.U2 + U4=40(a + b) + (a + 3b)=402a + 4b=40a + 2b=2 0. . . . (1)U3 + U5=46(a + 2b) + (a + 4b)=462a + 6b=46a + 3b=2 3. . . . (2)Dari (1) dan (2) diperoleh:a + 2b= 20a + 3b= 23–b= –3 b= 3Nilai b disubstitusikan ke dalam persamaan (1)a + 2b= 20a + 2(3) = 20 a + 6 = 20 a= 14Jadi, a = 14 dan b = 3.b.Un= a + (n – 1)bU2= 14 + (2 – 1)3= 14 + 3= 17U3= 14 + (3 – 1)3= 14 + 2(3)= 14 + 6= 20U6= 14 + (6 – 1)3= 14 + 5(3)= 14 + 15= 29U2 + 12U3 + U6= 17 + 12(20) + 29= 17 + 10 + 29= 56Jadi, nilai U2 + 12U3 + U6 = 56.b. Suku Tengah Barisan AritmetikaBarisan aritmetika yang jumlah sukunya ganjil dan minimal terdiridari 3 suku memiliki suku tengah (Ut).
Barisan dan Deret87145243U2t – 1U1, U2, U3osuku tengahnya U2U1, U2, U3, U4, U5osuku tengahnya U3U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7osuku tengahnya U4Misalnya diberikan barisan aritmetika U1, U2, ..., Ut, Ut + 1, ..., U2t – 1dengan suku tengah Utdan banyaknya suku 2t – 1, maka berdasarkanrumus Un diperoleh:Ut=a + (t – 1)b=12.2a + 12.2(t – 1)b=12[2a + 2(t – 1)b]=12[a + a + (2t – 2)b]=12(a + U2t – 1)=12(U1 + U2t – 1)Jadi, besarnya suku tengah dihitung dengan rumus:Ut=12(U1 + U2t–1)atauUt=12(U1 + Un)dengan: t=12(n + 1) untuk n ganjilUt=suku tengaha=U1 = suku pertamab=selisihUn=U2t – 1 = suku ke–n (suku terakhir)Contoh 3.7Ditentukan barisan aritmetika 5, 9, 13, ..., 125. Tentukan sukutengahnya dan merupakan suku keberapa?Jawab:5, 9, 13, ..., 125a= 5b= 4Un= 125Ut= 12nUU = 5 1252 = 1302 = 65
88Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaJadi, suku tengahnya Ut = 65Ut= a + (t – 1)b6 5 = 5 + (t – 1)46 5 = 5 + 4t – 46 5 = 1 + 4t4t= 64t= 16Jadi, suku tengahnya merupakan suku ke–16.Contoh 3.8Suku tengah suatu barisan aritmetika sama dengan 247, sukuketujuhnya 32, dan suku terakhirnya 492. Tentukan:a. suku pertama dan bedanya;b. banyaknya suku pada barisan aritmetika tersebut!Jawab:a.Ut= 247Un= 492Ut= 12nUU247 = 4922a494 = a + 492 a= 2U7= 32a + 6b= 322 + 6b= 326b= 30b= 5Jadi, suku pertama = 2 dan bedanya = 5.b.Un= 492a + (n – 1)b= 4922 + (n – 1)5 = 492(n – 1)5 = 490 n – 1 = 4905= 98 n= 99Jadi, barisan tersebut mempunyai 99 suku.
Barisan dan Deret89c.Sisipan pada Barisan AritmetikaPerhatikan barisan 1, 9, 17. Jika di antara dua suku yangberurutan disisipkan 3 bilangan, maka diperoleh barisan yangbaru, yaitu 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. Beda barisan semulaadalah 8, sedangkan beda barisan yang baru adalah 2.Sehingga:2 = 831Banyaknya suku barisan yang baru adalah 9, diperoleh dari:9 = 3 + (3 – 1)3 (dengan banyak suku yang disisipkan 3 danbanyak suku semula 3).Jika setiap dua suku berurutan pada barisan aritmetikadisisipkan k suku, maka barisan aritmetika yang barumempunyai:b' = 1bkn' = n + (n – 1)kdengan:b'= beda setelah disisipin'= banyaknya suku setelah disisipib= beda sebelum disisipin= banyaknya suku sebelum disisipiContoh 3.9Di antara bilangan 2 dan bilangan 50 disisipkan 5 bilangansehingga membentuk barisan aritmetika. Hitunglah beda daribarisan tersebut!Jawab:k= 5b= 50 – 2 = 48b'= 1bk = 4851 = 486 = 8Jadi, beda barisan yang baru (b') adalah 8.Kerjakan di buku tugas Anda!1. Tentukan nilai suku ke–25 jika diketahui:a.U1 = 5 dan b = 4b.U2 = 10 dan b = 5c.U3 = –6 dan U11 = 18Latihan 1
90Matematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasa2.Tentukan nilai a, b, dan Un dari barisan aritmetika di bawah inijika:a.U2 = 17 dan U5 = 35b.U9 = 12dan U15 = 312c.U3 = –11 dan U10 = 103.Pada barisan aritmetika diketahui U5 = –7 dan U3 + U10 = –8.Tentukan:a. suku pertama dan beda;b.U2 + U20 !4.Diketahui barisan aritmetika –512, –5, –412, –4, .... Tentukan:a. rumus suku ke–n;b.U5 + U10!5.Diketahui bilangan asli antara 100 dan 400. Tentukan banyaknyasuku yang:a. habis dibagi 2;b. habis dibagi 5;c.habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5!6.Jika suku terakhir suatu barisan aritmetika adalah 492, sukupertamanya adalah –3, dan suku keempatnya adalah 12, tentukanbanyak suku barisan tersebut!7.Ditentukan barisan aritmetika 11, 15, 19, ..., 307. Tentukan sukutengahnya dan merupakan suku keberapakah?8.Suku tengah dan suku terakhir suatu barisan aritmetika berturut–turut adalah 171 dan 341. Jika suku ke–2 adalah 11, makatentukan:a. suku pertama dan beda barisan tersebut;b. banyak suku pada barisan tersebut!9.Di antara bilangan 20 dan bilangan 35 disisipkan empat bilangansehingga membentuk barisan aritmetika. Tentukan:a. beda setelah disisipi;b. barisan bilangan tersebut!10.Di antara dua suku berurutan pada barisan bilangan 15, 31, 47, ...disisipi 3 buah bilangan sehingga membentuk barisan aritmetikayang baru. Tentukan:a. beda setelah disisipi;b. suku ke–15 dari barisan aritmetika yang baru!
Barisan dan Deret9114243+144444444444442444444444444432. Deret AritmetikaPerhatikan barisan aritmetika berikut:a. 1, 4, 7, ..., 58b. 2, 6, 10, ..., 38Jika barisan aritmetika tersebut dijumlahkan beruntun, maka akandiperoleh bentuk sebagai berikut:a. 1 + 4 + 7 + ... + 58b. 2 + 6 + 10 + ... + 38Bentuk penjumlahan aritmetika tersebut dinamakan deret aritmetika.Jadi, deret aritmetika dari barisan aritmetika U1, U2, U3, ...,Un adalah:U1 + U2 + U3 + ... + Un.Jika Sn menyatakan jumlah n suku pertama, maka:S1=U1U2= S2 – S1S2=U1 + U2U3= S3 – S2S3=U1 + U2 + U3}}Un= Sn – Sn – 1Sn=U1 + U2 + U3 + ... + UnU1=a, U2 = a + b, U3 = a + 2b, ..., Un – 2 = a + (n – 3)b = Un – 2b, Un – 1 = Un – b,maka:Sn=a + (a + b) + (a + 2b) + ...+ (Un – 2b) + (Un – b) + UnSn=Un + (Un – b) + (Un – 2b) + ...+ (a + 2b) + (a + b) + a2Sn=(a + Un) + (a + Un) + (a + Un) + ... + (a + Un) + (a + Un) + (a + Un) sebanyak n sukuSehingga: 2Sn= n(a + Un)Sn= 2n(a + Un)Sn= 12n(a + Un)Karena Un=a + (n – 1)b, maka:Sn=12n[a + a(n – 1)b]Jadi,Sn = 12n[2a + (n – 1)b]CatatanDeret harmonis adalahbarisan bilangan-bilanganyang kebalikannyamembentuk sebuah deretaritmetika.Contoh:1 + 12+ 13+ 14+ ....120 + 115 + 110 + 15 + ....
92Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaContoh 3.10Hitunglah jumlah 15 suku pertamadari deret aritmetika 2 + 5 + 8 + ...!Jawab:a= 2, b = 3, n = 15Sn= 12n[2a + (n – 1)b]S15= 12 .15[2(2) + (15 – 1)3]= 152[4 + 14(3)]= 152(4 + 42)= 152.46= 345Contoh 3.11Tentukan jumlah bilangan asli antara 10 dan 100 yang habis dibagi 2tetapi tidak habis dibagi 5!Jawab:a. Bilangan yang habis dibagi 2 adalah: 12 + 14 + 16 + ... + 98 = Sna= 12, b = 2 , Un = 98Un= a + (n – 1)b9 8 = 12 + (n – 1)29 8 = 12 + 2n – 298 = 2n + 102n= 88n= 44Sn= 12n(a + Un)= 12.44(12 + 98)= 22(110)= 2.420Info MatematikaSalah satu tokoh ajaib dalamMatematika adalah Carl FriedrichGauss. Pada saat usianya belummenginjak 3 tahun, Gauss batitatelah mengoreksi daftar gaji tukangbatu ayahnya. Kejeniusannya jugatampak ketika ia berusia 10 tahun.Ketika gurunya meminta murid-murid untuk menjumlahkan angkadari 1 sampai 100, Gauss segeramencoretkan 5.050 di atas batutulisnya. Matematikawan Jermankelahiran tahun 1777 ini juga berjasabesar dalam bidang analisis,geometri, elektrik, relativitas, danenergi atom. Pada usia 19 tahun,Gauss telah mulai menuliskanMatematika dalam lambang ciptaannyasendiri.
Barisan dan Deret93b. Bilangan yang habis dibagi 2 dan habis dibagi 5 adalah:20 + 30 + ... + 90 = Sna = 20, b = 10, dan Un = 90Un = a + (n – 1)b9 0 = 20 + (n – 1)10 – 109 0 = 20 + 10n10n= 80n= 8Sn= 12n(a + Un)= 12.8(20 + 90)= 4(110)= 440Jadi, jumlah bilangan asli antara 10 dan 100 yang habis dibagi 2, tetapitidak habis dibagi 5 adalah 2.420 – 440 = 1.980.Kerjakan di buku tugas Anda!1.Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari deret aritmetika berikutini:a. 2 + 5 + 8+ ....b. 23 + 43+ 63+ ....c.–100 – 97 – 94 – ...d. – 72– 52 – 32– ....2.Hitunglah jumlah dari deret aritmetika berikut ini:a. 1 + 3 + 5 + ... + 51b.5 + 25 +35 + ... + 1005c.13 + 1 + 53 + ... + 7d. –3 – 6 – 9 – ... – 30Latihan 3
94Matematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasa3.Diketahui jumlah deret aritmetika 2 + 5 + 8 + ... adalah 610.Tentukan:a. banyaknya suku deret tersebut;b. suku terakhirnya!4 .Hitunglah jumlah bilangan asli kurang dari 300 yang habis dibagi 4,tetapi tidak habis dibagi 8!5.Tentukan rumus suku ke–n pada deret aritmetika jika diketahuijumlah n suku pertama sebagai berikut:a. 2n2 – 7n;b.n2 – 14n!Kerjakan dengan kelompok Anda!1.Diketahui deret aritmetika sebagai berikut:log a + log ab + log (ab)2 + log (ab)3 + ....Tentukan jumlah 10 suku pertamanya!2.Dari sebuah deret aritmetika diketahui U3 + U5 + U7 + U9 = 132.Tentukan jumlah 11 suku pertamanya!C. Barisan dan Deret Geometri1. Barisan GeometriUntuk memahami barisan geometri, perhatikan barisan–barisanbilangan berikut ini.a. 1, 3, 9, 27, ....b. –8, –4, –2, –1, ....c.1, 2, 22, 23, ....Barisan–barisan tersebut mempunyai karakteristik tertentu, yaituperbandingan 2 suku yang berurutan selalu bernilai tetap. Perbandingantersebut dinamakan rasio dan dinotasikan dengan huruf r.a. Untuk barisan 1, 3, 9, 27, ....r = 31 = 93 = 279 = 3Tugas KelompokTugas Kelompok
Barisan dan Deret95b. Untuk barisan –8, –4, –2, –1, ....r = 48 = 24 = 12 = 12c.Untuk barisan 1, 2, 22, 23, ....r = 21 = 222 = 3222 = 2Ketiga barisan tersebut dinamakan barisan geometri.a . Suku ke–n Barisan GeometriMisalkan diketahui suatu barisan geometri U1, U2, U3, ..., Undengan rasio r dan U1 = a, maka:U1= a = ar0 = ar1 – 1U2= ar = ar1 = ar2 – 1U3= ar2 = ar2 = ar3 – 1...Un= arn – 1Sehingga suku ke–n barisan geometri adalah:Un = arn – 1 dengan r = 1nnUUContoh 3.12Tentukan suku pertama, rasio, dan suku ketujuh pada barisan–barisangeometri berikut:1) 1, –2, 4, –8, ....2) 200, 100, 50, 25, ....Jawab:1) 1, –2, 4, –8, ...a = 1, r = 21 = –2U7 = ar6 = 1(–2)6 = 642) 200, 100, 50, 25, .... a= 200, r = 100200 = 12U7= ar6 = 200612§· ̈ ̧©¹ = 258Contoh 3.13Dalam suatu barisan geometri diketahui U1 = 27 dan U4 = 1. Tentukan4 suku pertama barisan geometri tersebut!
96Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaJawab:U1= a = 27 dan U4 = 1Un= arn – 1U4= ar4 – 1 1 = 27r3r3= 127= 313§· ̈ ̧©¹r= 13Jadi, barisan geometri tersebut adalah 27, 9, 3, 1, ....b. Suku Tengah Barisan GeometriSuku tengah dari suatu barisan geometri adalah suatu suku yangletaknya di tengah–tengah barisan geometri tersebut, apabilabanyaknya suku ganjil. Misalkan barisan geometri tersebut:U1, U2, ..., Ut, ..., U2t – 1KarenaUn= arn – 1, maka:Ut= art – 1= 21tar= 22.taar= 21.taU= .naUUt=naUdengan: t=12(n + 1) untuk n ganjil a=suku pertamaUn=U2t – 1 = suku ke–n (suku terakhir)Contoh 3.14Diketahui suatu barisan geometri adalah 127, 19, 13, ..., 243. Jikabanyaknya suku pada barisan geometri tersebut adalah ganjil,tentukan:CatatanJika ada tiga suku geometriU1, U2, U3 membentukbarisan geometri, makaberlaku:Ut= 13.UUUt2= U1. U3123U2t–1
Barisan dan Deret971) suku tengahnya dan pada suku keberapa;2) banyaknya suku pada barisan geometri tersebut!Jawab:1) Barisan geometri 127, 19, 13, ..., 243. a= U1 = 127 r= 19127 = 3Un= U2t – 1 = 243Ut= .naU= 1.24327= 9= 3Jadi, suku tengahnya adalah 3.Ut= art – 13= 127. 3t – 181 = 3t – 1(3)4= 3t – 1 4 = t – 1t= 5Jadi, suku tengahnya merupakan suku ke–5.2)t= (1)2n5= (1)2n10 = n + 1n= 9Jadi, banyaknya suku barisan geometri tersebut adalah 9 suku.c.Sisipan pada Barisan GeometriDi antara dua bilangan real x dan y untuk xzy dapat disisipkanbilangan sebanyak k, dengan khimpunan bilangan asli, sehingga x, y,dan bilangan yang disisipkan tersebut membentuk suatu barisan geometri.
98Matematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasa14444244443sisipanx, xr, xr2, xr3, ..., xrk, yDari barisan tersebut diperoleh:kyxr = ryx = r. rkyx = rk + 1 r = 1kyxdengan:r=rasiok=banyaknya bilangan yang disisipkanx=a = U1 = suku pertamay=Un = suku terakhirRumus suku ke–n pada barisan yang baru adalah:Un' = arn' – 1dengan:n'=n + (n – 1)kn'=banyaknya suku barisan yang barun=banyaknya suku barisan semulaContoh 3.15Tentukan barisan geometri yang terbentuk pada soal–soal berikut ini:a. di antara bilangan 160 dan 5 disisipkan 4 buah bilangan;b. di antara 15 dan 125 disisipkan 3 buah bilangan!Jawab:a.x = 160, y = 5, dan k = 4 (genap)r = 1kyx = 55160= 5132= 12Jadi, barisan geometri yang baru adalah 160, 80, 40, 20, 10, 5.b.x = 15, y = 125, dan k = 3 (ganjil)CatatanUntuk k genap, maka r = 1kyxUntuk k ganjil, maka r = r1kyx
Barisan dan Deret99r = 1kyxr= ± 12515= ± 4625 = ± 5Jadi, rasio dari barisan geometri yang baru adalah r = 5 atau r = –5.Untuk r = 5, barisan geometri yang baru adalah 15, 1, 5, 25, 125.Untuk r = –5, barisan geometri yang baru adalah 15, –1, 5, –25, 125.Kerjakan di buku tugas Anda!1.Di antara barisan–barisan bilangan di bawah ini, manakah yangmerupakan barisan geometri:a. 1, 4, 9, ....b.12, 13, 29, ....c.a, 3ab, 52ab, ....d. 2p, 1p, 312p, ....2.Pada suatu barisan geometri diketahui suku ketiganya adalah 4dan suku kelimanya adalah 16. Tentukan:a. rasio dan suku pertama;b. suku ke–8;c.suku tengah jika banyaknya suku adalah 11!3.Dari barisan geometri diketahui U2 = 27 dan U6 = 13. Tentukan 4suku pertama barisan geometri tersebut!4.Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiganyaadalah 65 dan hasil kalinya adalah 3.375. Tentukan barisangeometri tersebut!5.Di antara bilangan 6 dan 96 disisipkan 3 bilangan sehinggamembentuk barisan geometri. Tentukan barisan geometri yangterbentuk!Latihan 4
100Matematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasa2. Deret GeometriPerhatikan barisan geometri berikut!a.1, 2, 4, ..., 64b.81, 27, 9, ..., 127Jika barisan geometri tersebut dijumlahkan beruntun, maka akandiperoleh bentuk sebagai berikut:a.1 + 2 + 4 + ... + 64b.81 + 27 + 9 + ... + 127Bentuk penjumlahan barisan geometri tersebut dinamakan deretgeometri.Bentuk umum deret geometri:a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn – 1Untuk menemukan rumus jumlah n suku pertama dari deret geometri(Sn), perhatikan rumusan berikut ini:Sn = a + ar2 + ar3 + ... + arn–1r. Sn =ar + ar2 + ar3 + ... + arn–1 + arnSn – rSn = a – arnSn (1 – r) = a – arnSn = 1naarrSn = 11narrSehingga jumlah n suku pertama deret geometri dirumuskan:Sn= 11narr untuk r < 1, rz 1Sn= 11narr untuk r > 1, rz 1dengan n= banyaknya sukua= suku pertama r= rasio
Barisan dan Deret101Contoh 3.16Hitunglah jumlah lima suku pertama deret geometri berikut ini:a. 1 + 4 + 16 + ....b. 48 + 24 + 12 + ....Jawab:a. 1 + 4 + 16 + ....a = 1, r = 4Karena r > 1, maka:Sn= 11narrS5= 514 141= 1.024 13= 1.0233= 341b. 48 + 24 + 12 + ....Karena r < 1, maka:Sn= 11narrS5= 5148 12112§·§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹= 148 13212§· ̈ ̧©¹= 48 u3132u 2= 93
102Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaKerjakan di buku tugas Anda!1.Tentukan jumlah deret geometri berikut ini:a.14 + 12 + 1 + ... + 32b. –27 – 9 – 3 – ... – 19c.1 + sin 30° + sin2 30° + ... + sin5 30°d. 1 – 2p + 4p2 – ... + 64p62.Diketahui suatu deret geometri 4 + 8 + 16 + ... Tentukan:a. suku kedelapan;b. jumlah 8 suku pertama!3.Dari suatu deret geometri diketahui suku pertamanya adalah 375dan suku keempatnya adalah 192. Tentukan jumlah lima sukupertamanya!4.Diketahui deret geometri 127 + 1 + 27. Di antara dua suku yangberurutan disisipkan dua suku sehingga membentuk deret geometriyang baru. Tentukan:a. jumlah deret geometri semula;b. jumlah deret geometri yang baru!5.Dari sebuah deret geometri diketahui U2 = 10, U5 = 160, danUt = 80. Tuliskan deret tersebut dan hitung jumlahnya!3. Deret Geometri Tak HinggaPerhatikan deret geometri berikut ini:a + ar + ar2 + ... +arn–1 + ....Banyak suku–suku penjumlahan pada deret geometri tersebutbertambah terus mendekati tak hingga. Deret geometri seperti itudinamakan deret geometri tak hingga.Jumlah dari deret geometri tak hingga dilambangkan dengan Sf yangdiperoleh dengan proses limit n mendekati tak hingga Sn. Selanjutnya, nilaiSn= limnof Sn ditentukan dengan cara berikut:Latihan 5
Barisan dan Deret103limnofSn= limnof11narrlimnofSn= limnof1ar – limnof1narrlimnofSn= 1ar – 1arlimnofrnTampak bahwa limnofSnditentukan oleh ada tidaknya nilai limnofrn.a .Jika nilai mutlak r kurang dari 1 (r< 1 atau –1 < r < 1), maka limnofrn = 0.Sehingga diperoleh:limnofSn = 1ar – 1ar (0)limnofSn = 1arDeret geometri tak hingga tersebut mempunyai limit jumlah ataudisebut konvergen.Jadi,Sf=limnofSn = 1arb. Jika nilai mutlak r lebih dari 1 (r> 1 atau r < –1 atau r > 1), makalimnofrn = rf. Sehingga diperoleh:limnofSn = 1ar – 1arrflimnofSn = rfDeret geometri tak hingga tersebut tidak mempunyai limit jumlah ataudisebut divergen.Contoh 3.17Hitunglah jumlah deret tak hingga berikut ini:25 + 5 + 15 + ....
104Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaJawab:a.a= 25, r = 15Sn= 1ar= 25115= 2545= 1254= 3114Jadi, jumlah deret 25 + 5 + 15 + ... adalah 3114.Kerjakan di buku tugas Anda!1.Hitunglah jumlah deret geometri tak hingga berikut:a. 4 + 2 + 1 + ....b. 6 – 2 + 23– ....c.1 + 0,1 + 0,01 + ....d. 1 – 12 + 14– ....2 .Suku ke–n suatu deret geometri ditentukan dengan rumus Un = 3–n.Tentukan jumlah deret geometri tak hingga tersebut!3.Diketahui deret geometri tak hingga dengan suku pertama 2konvergen dengan limit jumlah 3.a. Tentukan rasionya;b. Tuliskan deretnya!Latihan 6
Barisan dan Deret1054.Limit jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 92 danrasionya adalah 13. Tentukan:a. suku pertama;b. jumlah 4 suku pertamanya!5.Jumlah dua suku pertama dari deret geometri menurun adalah54 dan jumlah sampai tak hingga adalah 94. Tentukan empat sukupertama deret geometri tak hingga tersebut!D. Penerapan Deret Aritmetika dan Deret GeometriBanyak permasalahan dalam kehidupan sehari–hari yang sebenarnyadapat diselesaikan dengan menggunakan deret aritmetika atau deret geometri.Namun, Anda harus mampu mengidentifikasi permasalahan tersebut danmenerjemahkannya ke dalam bahasa matematika. Jika permasalahan tersebutberkaitan dengan penambahan atau pengurangan (selisih) secara tetap, makadapat diselesaikan dengan menggunakan deret aritmetika. Sedangkan deretgeometri dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitandengan perbandingan tetap.Setelah permasalahan teridentifikasi, Anda harus mampu menyatakanbesaran–besaran yang ada dalam permasalahan sebagai variabel–variabeldalam deret, misalnya a sebagai suku pertama, b sebagai beda, dan r sebagairasio. Selanjutnya adalah merumuskan deret yang merupakan modelmatematika dari permasalahan, menentukan penyelesaiannya, danmenafsirkan hasil yang diperoleh. Perhatikan contoh 3.18 berikut ini!Contoh 3.18Ihsan adalah seorang karyawan perusahaan swasta. Setiap 6 bulan sekali,perusahaan tersebut memberikan kenaikan gaji sebesar Rp100.00,00. Bila gajiIhsan pada bulan Januari 2008 sebesar Rp1.000.000,00, hitunglah gajinya padabulan Januari 2012!Jawab:Permasalahan tersebut berkaitan dengan penambahan secara tetap. Jadi,Anda harus menggunakan aturan deret aritmetika.1. Gaji Ihsan pada bulan Januari 2008 adalah U1 atau a, yaitu sebesarRp1.000.000,00.2. Kenaikan gaji sebesar Rp100.00,00 adalah beda (b).3. Variabel yang akan kita cari adalah gaji Ihsan pada bulan Januari 2012,yaitu U9.
106Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaSelanjutnya adalah mengubah bahasa permasalahan menjadi modelmatematika dan mencari penyelesaiannya.Un= a + (n – 1)bU9= 1.000.000 + (9 – 1)100.000= 1.000.000 + 8(100.000)= 1.000.000 + 800.000= 1.800.000Jadi, gaji Ihsan pada bulan Januari 2012 sebesar Rp1.800.000,00.Sekarang, perhatikan kembali permasalahan yang disajikan di awal babini.Contoh 3.19Pak Danang merupakan seorang peternak ayam di Indonesia. Akibatserangan wabah penyakit flu burung, populasi ayam yang dimilikinyaberkurang sepersepuluh setiap 10 hari sekali. Pada hari ke–40, populasiayamnya tinggal 32.805 ekor. Dapatkah Anda menghitung berapa populasiayam peliharaan Pak Danang semula?Jawab:Permasalahan tersebut berkaitan dengan perbandingan tetap. Jadi, Andaharus menggunakan aturan dalam deret geometri.1. Ayam Pak Danang semula adalah U1 atau a, merupakan variabel yangakan kita cari.2. Setiap 10 hari sekali berkurang 110 atau menjadi 910 dari semula, berartirasionya adalah 910.3. Populasi ayam pada hari ke–40 adalah U5, yaitu 32.805 ekor.Setelah mengidentifikasi semua variabel permasalahan, selanjutnya adalahmenyatakan model matematikanya dan menentukan penyelesaiannya.Un= arn – 1U5= ar432.805 = a4910§· ̈ ̧©¹= a6.56110.000§· ̈ ̧©¹a= 32.805 10.0006.561§· ̈ ̧©¹= 50.000Jadi, populasi ayam Pak Danang semula berjumlah 50.000 ekor.
Barisan dan Deret107Latihan 7Kerjakan di buku tugas Anda!Carilah artikel yang berisi permasalahan dalam kehidupan sehari–hari,baik dalam bidang pendidikan, kesehatan, ekonomi, maupun dalambidang lain yang berkaitan dengan konsep barisan dan deret. Nyatakandalam model matematika, tentukan penyelesaiannya, dan tafsirkanhasilnya!Kerjakan di buku tugas Anda!1.Seorang pelari maraton berlatih setiap hari. Pada hari pertama, iamampu berlari sejauh 2 km, hari kedua 4 km, hari ketiga 6 km,dan seterusnya. Tentukan jarak yang mampu ia tempuh pada harike–20!2.Fatma menabung di bank sebesar Rp500.000,00. Bank memberikanbunga sebesar 2% per tahun. Hitunglah jumlah tabungan Fatmasetelah 6 tahun!3.Seorang nenek membagikan sejumlah uang kepada cucu–cucunya.Cucu pertama mendapatkan uang sebesar Rp150.000,00 dan cucuterakhir Rp60.000,00. Selisih uang yang diperoleh seorang cucudengan cucu berikutnya sebesar Rp10.000,00. Tentukan:a. jumlah cucu nenek tersebut;b. jumlah uang yang diterima cucu ketiga;c.jumlah uang yang dibagikan nenek tersebut!4 .Sebuah perusahaan yang sedang berkembang selalu meningkatkanjumlah produknya sebanyak 1.000 unit per bulan. Jika pada bulanJanuari 2008, perusahaan tersebut mampu memproduksi 5.000unit barang, tentukan jumlah barang yang diproduksi pada bulanDesember 2008!5.Sebuah bola tenis dijatuhkan dari lantai sebuah gedung denganketinggian 20 m. Setiap kali setelah memantul, bola tersebutmencapai ketinggian empat per lima dari ketinggian yang dicapaisebelumnya. Tentukan panjang lintasan yang ditempuh bolatersebut sampai berhenti! Tugas Individu
108Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaRangkuman1. Barisan dan deret aritmetikaa. Rumus suku ke–n: Un = a + (n – 1)bb.Jumlah n suku pertama: Sn = 12n(a + Un) atau Sn = 12n[2a + (n – 1)b]dengan:Un=suku ke–nSn=jumlah n suku pertamaa=suku pertamab=selisih = Un – Un – 1n=banyaknya suku2. Barisan dan deret geometria. Rumus suku ke–n: Un = arn – 1 dengan r = 1nnUUb. Jumlah n suku pertama:Sn= 11narruntuk r < 1, rz 1Sn= 11narr untuk r > 1, r z 1dengan Un= suku ke–nSn= jumlah n suku pertaman= banyaknya sukua= suku pertamar= rasio3. Cara memecahkan masalah yang berkaitan dengan deret aritmetikaatau geometri:a. mengidentifikasi permasalahan sebagai deret aritmetika ataugeometri;b. menyatakan besaran–besaran permasalahan sebagai variabel–variabel dalam deret;c.menyatakan permasalahan dalam model matematika;d. menentukan penyelesaiannya;e.menafsirkan solusi dari hasil yang diperoleh.
Barisan dan Deret109Kerjakan soal–soal di bawah ini dengan benar!1.Dari barisan-barisan berikut ini, manakah yang merupakan barisanaritmetika?a.12, 14, 16, 18, ....c.23, 1, 113, 53, ....b. 2x, 1, 2(1 – x), 3 – 4x, ....d. 2, 5 + p, 7 + 2p, 9 + 3p, ....2.Diketahui barisan aritmetika –6, –3, 0, 3, .... Tentukan:a. rumus suku ke-n;b.U7 + U10!3. Suku tengah dan suku terakhir suatu barisan aritmetikaberturut–turut adalah 38 dan 74. Jika suku ke-3 adalah 8, makatentukan:a. suku pertama dan beda barisan tersebut;b. banyak suku pada barisan tersebut!4.Diketahui jumlah deret aritmetika –4 – 2 + 0 + 2 + ... adalah 2.250.Tentukan: a. banyaknya suku deret tersebut;b. suku terakhirnya!5.Dari barisan–barisan berikut ini, manakah yang merupakanbarisan geometri?a. 2, 23a,229a,3227a, ....c.1,2p,23p,34p, ....b. 1,23, 12,24 3, ....d.2x, 2x,22x, 4x, ....6.Tentukan barisan geometri yang terbentuk pada soal-soal berikutini:a. Di antara bilangan 5 dan 160 disisipkan 4 buah bilangan;b. Di antara 125 dan 15 disisipkan 3 buah bilangan!7.Pada suatu barisan geometri diketahui suku keduanya adalah 14dan suku kelimanya adalah 2. Tentukan:a. rasio dan suku pertama;b. suku tengah jika banyaknya suku adalah 15!8.Diketahui suatu deret geometri 3 + 3 + 33 + .... Tentukanjumlah 10 suku pertamanya!Uji Kompetensi
110Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaPengayaan9.Dari sebuah deret geometri diketahui U2 =12, U6 = 8, dan Ut = 4.Tuliskan deret tersebut dan hitung jumlahnya!10.Hitunglah jumlah deret geometri tak hingga berikut:a. 9 + 3 + 1 + ...c.2 + 0,2 + 0,02 + ....b. 8 – 4 + 2+ ....d. 1 – 12+ 14 + ....11.Diketahui deret geometri tak hingga dengan suku pertama 64konvergen dengan limit jumlah 128. Tentukan rasio dan deretnya!12.Setiap pagi nenek berolahraga jalan santai mengelilingi desa. Haripertama, nenek mampu menempuh jarak 700 m, hari kedua 900 m,hari ketiga 1.000 m, dan seterusnya. Berapa jarak yang ditempuhnenek pada hari ke-15?13.Andi membagikan seluruh gaji pertamanya kepada adik-adiknya.Adik yang pertama mendapatkan uang sebesar Rp110.000 danadik yang terakhir Rp20.000,00. Selisih uang yang diterima seorangadik dengan adik berikutnya sebesar Rp15.000,00. Tentukan:a. jumlah adik Andi;b. jumlah gaji pertama Andi!14. Diperkirakan jumlah penduduk suatu kota tertentu dalam 5 tahunnaik 5% setiap tahun. Berapakah persentase kenaikan pendudukkota tersebut setelah 5 tahun?15. Sebuah bola tenis dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 1 m. Setiapkali setelah memantul, bola tersebut mencapai ketinggian tiga perempat dari ketinggian yang dicapai sebelumnya. Tentukan panjanglintasan yang ditempuh bola tersebut sampai berhenti!Kerjakan di buku tugas Anda!1 .Buktikan bahwa apabila sisi–sisi segitiga siku–siku dapat membentukderet aritmetika, maka perbandingannya adalah 3 : 4 : 5!2 .Dua suku pertama dari deret geometri adalah 1xy dan 21xy.Buktikan bahwa jumlah n suku dari deret geometri tersebutditentukan dengan rumus: Sn = x11nyy§· ̈ ̧ ̈ ̧©¹!
Uji Semester Genap111I. Pilihlah jawaban yang benar!1.Sebuah kapal memiliki kapasitas maksimum 1.000 orangpenumpang. Setiap penumpang kelas eksekutif boleh membawabarang maksimum 50 kg dan kelas ekonomi 30 kg. Kapal tersebuthanya dapat mengangkut 3.000 kg barang. Model matematikayang tepat untuk menyatakan situasi tersebut adalah ....a.x + yd 1.000, 50x + 30yt 3.000, xt 0, yt 0b.x + yd 1.000, 50x + 30yd 3.000, xt 0, yt 0c.x + yd 1.000, 50x + 30yt 3.000, xd 0, yd 0d.x + yd 1.000, 50x + 30yd 3.000, xd 0, yd 0e.x + yd 1.000, 50x + 30yd 3.000, xd 0, yt 02.Nilai maksimum dari fungsi z = 3x + 2y dengan kendala x + yt 3,x + yd 6, 2 dxd 4, dan yt 0 adalah ....a.18b.1 6c.14d.10e.83.Diketahui A = 2345§· ̈ ̧©¹ dan B = 5634§· ̈ ̧©¹. Nilai A + 2B adalah ....a.–2d. 4b.0e.6c.24.Jika diketahui 1324§· ̈ ̧©¹. X = 17 1526 24§· ̈ ̧©¹, maka matriks X adalah ....a.6453§· ̈ ̧©¹d.6534§· ̈ ̧©¹b.3645§· ̈ ̧©¹e.4536§· ̈ ̧©¹c.5643§· ̈ ̧©¹Uji Semester Genap
112Matematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasa5.Suatu barisan bilangan mempunyai aturan Un = 2n2 + 5n. Sukuke-13 bernilai ....a.403d. 288b.384e.253c.3446.Rumus suku ke-n dari barisan 4, 1, -2, -5, ... adalah ....a.9 – 2nd.5 – 2nb.7 – 3ne.5 – 3nc.6 – 5n7.Suatu barisan bilangan mempunyai rumus suku ke-n sebagaiberikut:Un = 2(3n2 – 2). Nilai U5 + U2 adalah ....a.166d. 188b.170e.190c.1758.Banyaknya bilangan di antara 101 sampai dengan 1.000 yanghabis dibagi 3 adalah ....a.500d. 300b.450e.200c.4009.Di antara bilangan 2 dan 50 disisipkan 5 bilangan sehinggamembentuk barisan aritmetika. Beda barisan yang baru adalah ....a.3d. 8b.5e.1 0c.610.Jumlah 15 suku pertama dari -2 + 0 + 2 + 4 + ... adalah ....a.128d. 168b.150e.180c.15611.Di antara barisan-barisan bilangan di bawah ini, yang merupakanbarisan geometri adalah ....a.x, x + 2, x + 4, ....d.x, 2x2, 3x3, ....b.3, 6x, 12x2, ....e.xy, xy2, x2y, ....c.2, 3x, 4x, ....
Uji Semester Genap11312.Suku kedelapan dari deret 4 + 8 + 16 + ... adalah ....a.512d. 464b.500e.450c.48413.Jumlah 7 suku pertama deret 9 – 6 + 4 – ... adalah ....a.44081d.47281b.45881e.47581c.4638114.Barisan 15(a – 4), a – 4, 2a – 5, ... merupakan barisan geometri jikanilai a adalah ....a.22b.1 3c.10d.5e.315.Jumlah dari deret geometri tak hingga 13 – 29 + 427 – ... adalah ....a.19d.15b.18e.14c.16II. Kerjakan dengan benar!1.Manakah di antara pertidaksamaan di bawah ini yang merupakanpertidaksamaan linear dua variabel?a.126xyt dan 214xyt
114Matematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasab.1243yxd dan 842yxdc.x(1 + y) d 2d.10 + 4x > 2y2.Andi membeli 3 kg rambutan dan 2 kg belimbing dengan hargatotal Rp35.000,00, sedangkan Iwan membayar Rp47.000,00 untuk4 kg rambutan dan 3 kg belimbing. Dengan menggunakan inversmatriks, tentukan harga rambutan dan belimbing tiap 1 kg!3.Suatu barisan bilangan mempunyai rumus suku ke-n sebagaiberikut:Un = 3(2n2 + 5). Tentukan:a.U6 + U2;b.nilai n untuk Un = 90!4 .Diketahui bilangan asli antara 200 dan 500. Tentukan banyaknyasuku yang:a. habis dibagi 2;b. habis dibagi 5;c. habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5!5 .Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiganyaadalah 52 dan hasil kalinya adalah 1.728.a.Tentukan rasionya! b. Tuliskan barisan geometri tersebut!6 .Diketahui suatu deret geometri 3 + 9 + 27 + .... Tentukan:a.suku ketujuh;b.jumlah 9 suku pertama!7 .Seorang pembalap berlatih setiap hari di sebuah sirkuit. Pada haripertama ia mampu menempuh jarak 3 km dalam waktu 5 menit.Dalam waktu yang sama, ia mampu menempuh jarak 5 km padahari kedua, 7 km pada hari ketiga, dan seterusnya. Berapakahjarak yang mampu ia tempuh pada akhir minggu kedua dalamwaktu 5 menit?8.Irfan menyetujui untuk bekerja paruh waktu dengan gajiRp50.000,00 pada minggu pertama, Rp100.000,00 pada minggukedua, Rp200.000,00 pada minggu ketiga, dan seterusnya.Berapakah gaji yang diterimanya pada akhir minggu ke-13?
Matematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasa115Daftar PustakaAyres, Frank jr, Schmidt, Philip A, Hademenos, George J. MatematikaUniversitas. 2003. Jakarta: Erlangga.BSNP. 2008. Sosialisasi Penilaian Standar Buku Teks Pelajaran 2008(Periode 1). Jakarta: BSNP.Cullen, Charles G. 1993. Aljabar Linear dengan Penerapannya(diterjemahkan oleh Bambang Sumantri). Jakarta: Gramedia PustakaUtama.Edi Kusnaedi, dkk. 2007. Soal–soal Pemantapan Ujian Nasional. Bandung:Yrama Widya.Lipschutz, Seymour. 1988. Matematika Hingga edisi SI (diubah ke satuanSI oleh Hall, George G.). Jakarta: Erlangga.Sembiring, Suwah. 2002. Buku Pintar Matematika untuk SMU. Bandung:Yrama Widya.______________. 2002. Olimpiade Matematika. Bandung: Yrama Widya.Siswanto. 2005. Matematika Inovatif 3 Konsep dan Aplikasinya. Solo: PT.Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.Spiegel, Murray R. Matematika Dasar (diterjemahkan oleh Kasir Iskandar).1995. Jakarta: Erlangga.ST Negoro dan B. Harahap. 2005. Ensiklopedia Matematika. Jakarta:Ghalia Indonesia.Suke Silverus. 1991. Evaluasi Hasil Belajar dan Umpan Balik. Jakarta:Grasindo.Wahyudin dan Sudrajat. 2002. Ensiklopedia Matematika dan PeradabanManusia. Tarity Samudra Berlian.Weber, Jean E. Analisis Matematika Penerapan Bisnis dan Ekonomi jilid 2.1991. Jakarta: Erlangga.
116Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaIndeksAaritmetika 79, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, , 92,93, 94, 105, 108, 109, 110Bbarisan 79, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90,91, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 107, 108, 109barisan aritmetika 79, 84, , 85, 86, 87, 89, 90, 91,109barisan bilangan 80, 81, 83, 84, 90, 91, 94, 99barisan geometri 79, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100,109beda 32, 84, 85, 88, 89, 90, 105, 109Dderet 79, 80, 82, 83, 84, 85, 91, 92, 93, 94, 100,101,102, 103, 104,105, 106, 107, 108, 109,110deret aritmetika 84, 85, 91, 92, 93, 94, 105, 108,109, 110deret geometri 79, 94, 100, 101, 102, 103, 104,105, 106, 108, 109, 110determinan 27, 51, 52, 53, 54, 58, 65, 66, 67, 68,70, 76, 71, 78, 79determinan matriks 27, 51, 52, 53, 54, 76, 78diagonal 32, 33, 37, 52diagonal kedua 32diagonal utama 32, 33, 52divergen 103Eelemen matriks 30, 34, 38, 42, 51, 70Ffungsi objektif 1, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21,23, 77Ggeometri 79, 93, 94, 95, 96, 97, , 98, 99, 100, 101,102, 103, 104, 105, 106, 108, 109, 110geometri tak hingga 79, 102, 103, 104, 105, 110Hhimpunan penyelesaian 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11,16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 65, 66,67, 68, 73, 74, 76, 77, 78Iinvers matriks 27, 51, 54, 55, 58, 61, 63, 65, 67,68, 70, 71, 72, 78, 79Kkofaktor 58, 59, 60konvergen 103, 104, 110Mmatriks 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37,38, 40, 41, 42, 43, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52,53, 54, 55, 56, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 65, 67,68, 69, 70, 71, 72, 76, 78, 79model matematika 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,22, 24, 67, 68, 72, 74, 77, 105, 106, 107, 108Nnilai optimum 1, 16, 19, 23Ooptimasi 11, 17, 22ordo 27, 28, 30, 31, 32, 34, 35, 38, 40, 43, 51, 52,54, 55, 56, 58, 61, 62, 69, 70, 72Ppenyelesaian optimum 16pertidaksamaan linear 1, 2,3, 4, 6, 7, 8, 10, 13,15, 16, 17, 22, 23, 24, 77program linear 1, 2, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19,22Rrasio 94, 95, 98, 99, 100, 104, 105, 106, 108, 109,110Ssisipan 79, 89, 97, 98sistem pertidaksamaan linear 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8,10, 13, 15, 16, 17, 22, 24, 77
Matematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasa117Glosariumbarisan aritmetika:barisan yang selisih antara dua sukuyang berurutan selalu samabarisan geometri:barisan yang antardua suku yangberurutan mempunyai rasio tetapbarisan:susunan bilangan yang memiliki polaatau aturan tertentuderet:bentuk penjumlahan barisandeterminan matriks:nilai tunggal yang diperoleh darimengalikan elemen pada diagonalutama dikurangi hasil perkalianelemen-elemen diagonal keduafungsi objektif:fungsi yang akan ditentukan nilaioptimumnya pada program linearmatriks identitas:matriks diagonal yang semua nilaielemen pada diagonal utamanya samadengan positif satu, sedangkan elemenlainnya nolmatriks nol:matriks yang semua elemennya bernilainolmatriks:susunan bilangan yang berbentukempat persegi panjang yang terdiri atasbaris dan kolom dan terletak di antaradua tanda kurungoptimasi:proses mencari nilai maksimum atauminimum suatu fungsiordo matriks:ukuran matriks yang menyatakanbanyaknya baris dan banyaknya kolompertidaksamaan linear:pertidaksamaan yang memuat duadua variabelvariabel berpangkat satuprogram linear:suatu metode untuk memecahkanmasalah optimasirasio:perbandingan antara dua suku yangberurutansistem pertidaksamaan:hubungan yang memuat dua atau lebihlinear dua variabelpertidaksamaan linear dua variabeldengan variabel-variabel yang sama
118Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaKunci JawabanBAB 1PROGRAM LINEARUji Kompetensi1.b dan d3. a. 3x + 5yd 15, 5x + 3yd 15, xd 0, yd 0 dengan x, yRb. 2x – 3yt – 6, x + 2yt 4, 3x + 2y d 12 dengan x, yR5. 3x + 4yd 120 dengan x = banyaknya soal tipe I dan y = banyaknyasoal tipe II7.z = 1609. a.Titik(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)(x, y)Nilai3579 468105x + 2yb. Nilai maksimum = 10 pada titik (2, 4)Nilai minimum = 3 pada titik (1, 1)11.50 buku teks A dan 40 buku teks B13.Rp107.000,0015.Rp19.500,00BAB IIMATRIKSUji Kompetensi1. 133. –65.1234§· ̈ ̧©¹7.x = 4 dan y = 1
Matematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasa1199.43321§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹11.–3 dan 413.a = 1, b = 2, dan c = 315.Rambutan = Rp5.000,00 dan duku = Rp8.000,00.Uji Semester GasalI.Pilihan Ganda1. c3. a5. b7. d9. a11. d13. b15. cII.Uraian1.3.x + yd 505x + 20yd 200xt 0, yt 0 dengan x, yC5.z = 487.11174871148§· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹9. a.{–2, 5}b.{4, –3}104O56XY
120Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaBAB IIIBARISAN DAN DERETUji Kompetensi1.b dan c3. a.a = 2, b = 3b. 2 55.a dan b7. a.r = 2, a = 18b. 1 69.Deret: 14 + 12 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 6411.r = 12Deret: 64 + 32 + 16 + 8 + ....13.a. 7 orangb. Rp455.000,0015. 7 mUji Semester GenapI.Pilihan Ganda1. b3. c5. a7. a9. d11. b13. c15. dII.Uraian1. b dan d3. a. 16b.2 55. a. r = 3b.4, 12, 367. 29 km
ISBN 978-979-068-846-9 (no. jilid lengkap)Harga Eceran Tertinggi: Rp7.398,--ISBN 978-979-068-852-0